如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H． （1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

题目

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

答案

证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90度．（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF．（4分）
∴△ABE∽△ADF．（5分）
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH．
∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
从而∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，（8分）
∴AB=AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．（10分）