满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解有(  ) A.一组 B.二组 C.三组 D.四组

满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解有(  ) A.一组 B.二组 C.三组 D.四组

题目
满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解有(  )
A. 一组
B. 二组
C. 三组
D. 四组
答案
原方程整理得:x2-(y+2)x+(y2-2y)=0
△=(y+2)2-4(y2-2y)≥0
6-4
3
3
≤y≤
6+4
3
3
因为y是正整数,有1≤y≤4,从而,y=1,2,3,4
当y=1时,则x2-3x+1=0.无正整数解;
当y=2时,x2-4x=0,有整数解;
当y=3时,则x2-5x+3=0.无正整数解;
当y=4时,则x2-6x+8=0.有正整数解为2,4.
故原方程的解为:
x=4
y=2
x=2
y=4
x=4
y=4

故选:C.
运用一元二次方程的判别式,确定y的取值范围,从而确定一元二次方程解的情况.

一元二次方程的整数根与有理根;根的判别式.

此题主要考查了一元二次方程根的判别式,以及方程解的情况,难度不大.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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