一条直线在两直线3x+y-2=0和x+5y+10=0间的线段被点M(2,-3)平分,求这条直线的方程?

题目

一条直线在两直线3x+y-2=0和x+5y+10=0间的线段被点M(2,-3)平分,求这条直线的方程?

答案

为了容易叙述：给直线起个名：
直线①：3x+y-2=0
直线②：x+5y+10=0
假设所求直线③：y＝k(x-2)-3
那么由于直线③和直线①有交点坐标A(x1,2-3*x1) →因为A是直线①上的点
那么由于直线③和直线②有交点坐标B(x2,-2- x2 / 5) →另一种方法见注释
下面利用两种已知：⑴利用点A和点B也是直线③上的点,构造方程组求K；
⑵利用已知的M点为中点
那么：2-3*x1＝k(x1-2)-3
-2- x2 / 5＝k(x2-2)-3
x1+x2＝4 AB中点坐标M(2,-3) 或者 (2-3*x1) + (-2- x2 / 5) = - 6
以上三式联立求得：x1=13/7,x2=15/7 k＝4 其实只要求K就可以了
总之A(13/7,-25/7) B(15/7,-17/7)
当然所求直线早已得到：y＝4(x-2)-3＝4x-11
※※※※※※ 注释 ※※※※※※※
方法2：AM线段的斜率＝BM线段的斜率:也就是所求直线③的斜率
(2-3*x1+3) / (x1-2) ＝(-2- x2+3) / (x2-2) ＄
(x1+x2) / 2＝2
两式联立得出x1或者x2,则斜率可求,实际上＄恰好是方法1 的k导出来的