急求微分方程(1+x ^2)dy=(1+xy)dx 的通解
题目
急求微分方程(1+x ^2)dy=(1+xy)dx 的通解
答案
原方程变为(1+x²)y'-xy=1
y'-x/(1+x²)*y=1/(1+x²)
一阶线性微分方程,设u=u(x)于等式相乘,使方程左边变为 (uy)'
uy'-ux/(1+x²)*y=u/(1+x²)
由于乘法法则,可得到 u'=ux/(1+x²)
du/u=x/(1+x²)*dx
㏑u=1/2*㏑(1+x²)
u=√(1+x²)
代会原方程
[√(1+x²)y]'=1/√(1+x²)
√(1+x²)y=∫1/√(1+x²)dx=㏑[x+√(1+x²)]+C
y=㏑[x+√(1+x²)]/√(1+x²)+C/√(1+x²)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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