急求微分方程（1+x ^2）dy=（1+xy）dx 的通解

题目

急求微分方程（1+x ^2）dy=（1+xy）dx 的通解

答案

原方程变为(1+x²)y'-xy=1
y'-x/(1+x²)*y=1/(1+x²)
一阶线性微分方程,设u=u(x)于等式相乘,使方程左边变为 (uy)'
uy'-ux/(1+x²)*y=u/(1+x²)
由于乘法法则,可得到 u'=ux/(1+x²)
du/u=x/(1+x²)*dx
㏑u=1/2*㏑(1+x²)
u=√(1+x²)
代会原方程
[√(1+x²)y]'=1/√(1+x²)
√(1+x²)y=∫1/√(1+x²)dx=㏑[x+√(1+x²)]+C
y=㏑[x+√(1+x²)]/√(1+x²)+C/√(1+x²)