幂级数收敛半径求法求释疑

题目

幂级数收敛半径求法求释疑
很多书上都是用后项比前项求极限,然后取极限值倒数得到收敛半径,如果极限值为0,收敛半径为正无穷,极限值为正无穷,收敛半径为0.
为什么不直接用前项比后项取极限啊?这样就不用再取倒数就能直接得到收敛半径了啊,如果极限为0,收敛半径也为0,极限为正无穷,收敛半径也为正无穷.这样岂不更简便?省的绕来绕去?

答案

你知道级数敛散性的判别法的比值法吗?它是级数收敛的充分条件,但是由于幂级数是一致收敛的,所以比值法是幂级数的充要条件.所以要使得幂级数收敛即要求幂级数通项后一项比前一项的绝对值的极限小于1,那样解出来的x的范围就是收敛域.你说的方法只能求不缺项的幂级数收敛域,如果幂级数缺项的话就必须用通项后一项比前一项的绝对值的极限小于1,那样解出来的x的范围就是收敛域.