过抛物线y²=2ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是m,n,则1/m+1/n=
题目
过抛物线y²=2ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是m,n,则1/m+1/n=
答案
1/p+1/q=2/a(可用特殊直线x=a/2 计算,此时p=a,q=a).
不妨设p>q,抛物线准线方程L:x=-a/2,做PE⊥L于E,QH⊥L于H,L交轴于F',直线PQ交L于G,FF'=a,则
PE=PF=p
QH=QF=q
GP/PE=GQ/QH,即
GP/p=(GP+p+q)/q
GP=p(p+q)/(q-p)
GP/PE=GF/FF',即
[p(p+q)/(q-p)]/p=(p(p+q)/(q-p)]+p)/ a
(p+q)/(q-p)=1/a(p^2+pq+pq-p^2)/(q-p)
(p+q)/pq=2/a
1/p+1/q=2/a
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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