一道抽象代数的题,关于正规子群的.

题目

一道抽象代数的题,关于正规子群的.
计算出S4和A4的所有正规子群

答案

S4的阶是24,那么非平凡子群有可能有2,3,4,6,12五类.2,3阶子群肯定不是正规子群,因为他们肯定是循环群,而S4非交换,所以一定不是.

12阶子群一定是正规子群,只有A4,参见小群列表,除了A4,其他12阶群皆需要6阶元.

6阶子群.只有S3,Z6需要6阶元.因为(14)(12)(14)=(24),显然S3也不是正规子群.

4阶子群,只有Z4和K4.Z4显然不是正规子群.K4={(1),(12)(34),(13)(24),(13)(23)}是其正规子群.

故S4的非平凡正规子群只有A4和K4(克莱因4元群）.

A4的讨论相仿,因为他无6阶子群.他的子群只有2,3,4三类,和上面的说法基本类似.

故A4的非平凡子群只有K4.