已知点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上除顶点外的右支上的任意一点,F1,F2是它的焦点,

题目

已知点P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上除顶点外的右支上的任意一点,F1,F2是它的焦点,
∠PF1F2=A,∠PF1F2=B,求证：tanA/2乘cotB/2=(c-a)/(c+a)

答案

设AF1=r1
AF2=r2
由正弦定理：r1/sinB=r2/sinA=2c/sin(A+B)
而r1-r2=2a
由合分比公式得：（r1-r2)/(sinB-sinA)=2c/sin(A+B)
2a/(sinB-sinA)=2c/sin(B+A)
2a/2cos[(B+A)/2]sin[(B-A)/2]=2c/2sin[(B+A)/2]cos[(B+A)/2 ]
a/sin[(B-A)/2]=c/sin[(B+A)/2 ]
c/a=sin[(B+A)/2]/sin[(B-A)/2]
(c-a)/(c+a)={sin[(B+A)/2]-sin[(B-A)/2]}/{sin[(B+A)/2]+sin[(B-A)/2]}
=[2cos(B/2)sin(A/2)]/[2sin(B/2)cos(A/2)]
=tanA/2*cotB/2
即：tanA/2乘cotB/2=(c-a)/(c+a )