若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则b的取值范围是（　　） A.(−3，3) B.[−3，3] C.（-2，2） D.[-2，2]

题目

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x²-y²=1总有公共点，则b的取值范围是（　　）
A. (−

3

，

3

)
B. [−

3

，

3

]
C. （-2，2）
D. [-2，2]

答案

把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得x²-[k（x-2）+b]²=1，
△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]
=4（1-k²）+4（b-2k）²
=4[3k²-4bk+b²+1]=4[3（k2−

4b

3

k+

4b2

9

）−

b2

3

+1]
不论k取何值，△≥0，则1-

1

3

b²≥0
∴

b2

3

≤1，
∴b²≤3，则−

3

≤b≤

3

故选B

把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，不论k取何值，△≥0恒成立可求出b的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的合理运用．