设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y.有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析试.
题目
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y.有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析试.
答案
恒等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),可化为f(x-y)-(x-y)²-(x-y)=f(x)-x²-x
设g(x)=f(x)-x²-x,则g(x-y)=g(x)对于任意实数x,y成立.
∴g(x)为常数函数,
又g(0)=f(0)=1,
∴g(x)必定恒为1,即f(x)=x²+x+1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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