在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>c)圆O:x2+y2=a2,且过点A(a2/c,0)所作圆的两条切线互相垂直.
题目
在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>c)圆O:x2+y2=a2,且过点A(a2/c,0)所作圆的两条切线互相垂直.
(1)求椭圆离心率(2)若直线y=2根号3与圆交于D.E与椭圆交于M,N,求椭圆方程(3)设T(0,3)在椭圆内部,若椭圆C上的点到P的最远距离不大于5根号2,求椭圆C的短轴长的取值范围
答案
:(Ⅰ)由条件:过点A( a2c,0)作圆的两切线互相垂直,
∴OA= 2a,即:a2c= 2a,
∴e= 22.(3分)
(Ⅱ)∵e= 22,
∴a2=2c2,a2=2b2,
∴椭圆C:x22b2+y2b2=1.(5分)
{x2+y2=a2y=23得x2=a2-12,
∴DE=2 a2-12,
{x22b2+y2b2=1y=23得x2=2b2-24,
∴MN= 22b2-24,(7分)
由DE=2MN,得:a2-12=4(2b2-24),
∴2b2-12=4(2b2-24),
解得:b2=14,a2=28,
∴椭圆方程为:x228+y214=1.(9分)
(Ⅲ)∵点T(0,3)在椭圆内部,∴b>3,
设P(x,y)为椭圆上任一点,则
PT2=x2+(y-3)2=2b2-2y2+(y-3)2
=-(y+3)2+2b2+18,其中,-b<y<b,(12分)
∵b>3,∴-b<-3,
∴当y=-3时,PT2的最大值2b2+18.(14分)
依题意:PT≤5 2,∴PT2≤50,
∴2b2+18≤50,∴0<b≤4,
又∵b>3,∴3<b≤4,即6<2b≤8,
∴椭圆C的短轴长的取值范围6<b≤8.(16分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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