求通项公式为(2n+1)/2^n的前n项和

题目

求通项公式为(2n+1)/2^n的前n项和

答案

若n为偶数,则Sn=(3+7+11+...+(2(n-1)+1))+(2^2+2^4+2^6+...2^n)
这个式子有两部分,前面为首项3公差4项数n/2的等差数列,后面为首项4公比4项数n/2的等比数列
前面的和为3(n/2)+(n/2)(n/2-1)*4/2=(n^2+n)/2
后面的和为4(1-4^(n/2))/(1-4)=4/3(1-4^(n/2))
故Sn=(n^2+n)/2+4/3(1-4^(n/2))
若n为奇数,则n-1为偶数
S(n-1)=[(n-1)^2+(n-1)]/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]=(n^2-n)/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]
Sn=S(n-1)+an=(n^2-n)/2+4/3[1-4^((n-1)/2)]+2^n
基本所有对于奇偶不同定义,求前n项和的题目,都是这样分组求和
希望对你能有所帮助.