黑白镶嵌的足球,黑色皮块是正五边形,白色是正六边形,两种皮块是32块,求黑白皮块个是多少?

题目

黑白镶嵌的足球,黑色皮块是正五边形,白色是正六边形,两种皮块是32块,求黑白皮块个是多少?

答案

假设黑皮为x个,白为y个
x+y=32
根据欧拉公式
V+F-E=2
V是多面体的顶点个数,F是多面体的面数,E是多面体的棱的条数
显然F=32,
正五边形完全被正六边形包围（但正六边形不是被正五边形完全包围,一个正六边形有三条边与正五边形相接,另外三条与别的正六边形相接）,因此定点即为V=5x,E=5x+3y/2(这个算法是先算五边形的边为5x,那么剩下的就是不与五边形相接的边,而这些边都是两个六边形共享的,没个六边形还剩3个边,因此为3y/2)
代入有5x-32-5x-3y/2=2
=>y=20
x=12