如图,PA垂直平面ABC,AE垂直PB,AB垂直BC,AF垂直PC,PA=AB=BC=2.(1)求证：平面AEF垂直平面PBC；(2)求二面P-BC-A的大小；(3)求三棱锥P-AEF的体积

题目

如图,PA垂直平面ABC,AE垂直PB,AB垂直BC,AF垂直PC,PA=AB=BC=2.(1)求证：平面AEF垂直平面PBC；(2)求二面P-BC-A的大小；(3)求三棱锥P-AEF的体积

答案

（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；x0d得BC⊥面PAB,x0d又AE在面PAB内x0d得BC⊥AE,AE⊥BCx0d又AE⊥PB,PB与BC相交x0d所以AE⊥面PBCx0d又AE在面AEF中x0d所以平面AEF⊥平面PBC；x0d（2）求二面角P—BC—A的大小；x0dP在面ABC中的射影为AS⊿PBC=√2S⊿ABC=2所以cos=S⊿ABC/S⊿PBC=√2/2x0d二面角P—BC—A的大小为45度x0d（3）求三棱锥P—AEF的体积.x0dPE为三棱锥P—AEF的高EF=1AE=√2PE=√2所以三棱锥P—AEF的体积.=1/3*1/2*√2*√2=1/3