已知函数f(x)=tanxtan2x/(tan2x-tanx)+√3(sin2^x-cos2^x)

题目

已知函数f(x)=tanxtan2x/(tan2x-tanx)+√3(sin2^x-cos2^x)

答案

已知函数f(x)=tanxtan2x/tan2x-tanx+根号3(sin^2x-cos^2x)
（1）求函数f(x)的定义域和最大值（2）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2a,求f(A)取值范围
（1）解析：∵f(x)=tan(x)tan(2x)/(tan(2x)-tan(x))+√3((sin(x))^2-(cos(x)^2))
=1/(cot(x)-cot(2x))-√3cos(2x) =sin(2x)-√3cos(2x)=2sin(2x-π/3)
∴f(x)=2sin(2x-π/3)
其定义域为R,值域为[-2,2],最大值为2
（2）解析：∵△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2a
由正弦定理得sinA=1/2*sinB
设g(x)=arcsin(1/2*sinx) x∈(0,π)
令g’(x)=1/√[1-(1/2*sinx)^2]* (1/2*sinx)’=cosx/√(4-(sinx)^2)=0==>x=π/2
∴当x=π/2时,g(x)取极大值1/2
∴sinA最大值为1/2,即A∈(0,π/6]
∴f(A)=2sin(2A-π/3)==>f(A)∈(-√3,0]