用数学归纳法证明(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]大于等于n的平方

题目

用数学归纳法证明(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]大于等于n的平方

答案

a1*(1/a1)=1≥1²
假设(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]≥n²
则(a1+a2+a3+a4+a5+.+an+a(n+1))[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)+(1/a(n+1))]
=(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]
+(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)/a(n+1)
+a(n+1)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]
+a(n+1)[1/a(n+1)]
≥n²+2√{[(a1+a2+a3+a4+a5+.+an)/a(n+1)]*a(n+1)[(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+.(1/an)]}+1
≥n²+2√n²+1
=n²+2n+1=(n+1)²
证明完毕 所以成立