对任意自然数n.11^(n+2)+12^(2n+1)是133的倍数

题目

对任意自然数n.11^(n+2)+12^(2n+1)是133的倍数
用数学归纳法证明.

答案

用归纳法证明,当n=1,11^2+12^3=3059=23*133,命题成立,归纳法假设当命题对任意n成立,考虑如下n+1时的情况,
11^(n+3)+12^(2n+3)=11^(n+3)+11*12^(2n+1)-11*12^(2n+1)+12^(2n+3)
=11*(11^(n+2)+12^(2n+1))+12^(2n+1)(12^2-11)
=11*(11^(n+2)+12^(2n+1))+133*12^(2n+1),
由归纳法假设上式右边第一项是133的倍数,第二项含有133因子,也上133的倍数.故n+1时命题也成立,完成了归纳法证明.