证明:一个矩阵A是M x N,证明A的共轭转置的核空间与A正交补的像空间是否相等.

证明:一个矩阵A是M x N,证明A的共轭转置的核空间与A正交补的像空间是否相等.

题目
证明:一个矩阵A是M x N,证明A的共轭转置的核空间与A正交补的像空间是否相等.
答案
我数学系,这多年基本没见过"矩阵的正交补"的概念.只见过"空间的正交补"概念.
但是你这题,很好证明,而且最小二乘法中有类似的证明,可以给你讲下思路.
第一个空间:共轭转置我们记作*,那么核子空间就是A*x=0的解空间.
第二个空间:我们设矩阵A的正交补为B,那么它的像空间,就是任意n维列向量x,Bx全体组成的空间.
接下来证明任意元素属于第二个空间一定属于第一个空间.
第二个空间里的元素都可以用Bx表示,那么A*(Bx)=0,这是由正交补的概念得到的(A*B=0),这说明Bx属于第一个空间.
再证明第一个空间中的元素都属于第二个空间
将第二个像空间{Bx}看成是,由B的列向量作为基底张成的空间,那么他就是B的列向量的线性组合.
我们由正交补的定义知道A*B=0,r(B)=n-r(A)
任意x使得A*x=0,都是B的列向量的线性组合,故x属于第二个空间.
这是证明思路,但是我说了矩阵的正交补的概念一般没有,你这题有问题,回去再看看原题吧
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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