已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,则圆C的标准方程为(  ) A.(x+1)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=4 C.(x-1)2+y2=

已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,则圆C的标准方程为(  ) A.(x+1)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=4 C.(x-1)2+y2=

题目
已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2
2
,则圆C的标准方程为(  )
A. (x+1)2+y2=4
B. (x-3)2+y2=4
C. (x-1)2+y2=4
D. (x+3)2+y2=4
答案
设圆心C的坐标为(a,0),a>0,则圆心到直线l:y=x-1的距离为 d=
|a−0−1|
2
=
|a−1|
2

由于半径r=|a-1|=
(
a−1
2
)
2
+(
2
)
2
,解得 a=3,或 a=-1(舍去),
故圆C的圆心为(3,0),半径为3-1=2,故圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,
故选B.
设圆心C的坐标为(a,0),a>0,求得圆心到直线l:y=x-1的距离d的值,再根据半径r=|a-1|=
(
a−1
2
)
2
+(
2
)
2
,解得 a的值,可得圆心
坐标和半径,从而求得圆C的标准方程.

直线与圆相交的性质.

本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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