三角形ABC中,角BAC＝90,AB=AC,M为形内一点,恰满足BA＝BM,AM＝CM,试求角ABM的度数

题目

三角形ABC中,角BAC＝90,AB=AC,M为形内一点,恰满足BA＝BM,AM＝CM,试求角ABM的度数
请自己画
初二丛书p10三大题,

答案

过程挺复杂,需要用到余弦定理,推导过程如下：
首先设PA＝a,PB＝b,PC=c,
则BC＝b＋c.
因为是等腰直角三角形,可设AB＝AC＝R,则
BC＝根号2R
所以b+c=根号2R. （1式）
因为,根据已知条件定理,角BPA＋角APC＝180°
所以,根据三角函数定理,CosBPA＝－CosAPC,
所以,根据余弦定理,以及所设的AB、AC、BC等边,可得如下式子：
（a方＋c方－R方）/2ac＝－（a方＋b方－R方）/2ab,
由此化简后,可得
a方＝R方－bc （2式）
根据1式,R＝（b＋c）/根号2 （3式）
将3式代入2式,得
a方＝〔（b+c）/根号2〕方－bc
a方＝1/2*(b+c）方-bc
再化简,得
a方＝1/2(b方＋c方）＋bc－bc
a方＝1/2(b方＋c方）
即
PA方＝1/2(BP方＋PC方） 得证.