在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b2=c（b+2c），若a＝6，cosA＝7/8，则△ABC的面积等于_．

题目

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b²=c（b+2c），若a＝

6

，cosA＝

7

8

，则△ABC的面积等于______．

答案

∵b²=c（b+2c），∴化简得b²-c²=bc+c²，
即（b-c）（b+c）=c（b+c），整理得（b+c）（b-2c）=0
∵b+c＞0，∴b-2c=0，可得b=2c．
∵△ABC中，a＝

6

，cosA＝

7

8

由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=5c²-

7

2

c²=6，
解之得c=2，可得b=2c=4．
∵A∈（0，π），可得sinA=

1−cos2A

=

15

8

∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

15

8

=

15

2

．
故答案为：

15

2

根据b²=c（b+2c）化简整理，得（b+c）（b-2c）=0，从而b=2c．在△ABC中由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，建立关于c的方程解出c=2，可得b=2c=4．最后利用同角三角函数的关系算出sinA=

15

8

，即可得到△ABC的面积．

本题考点：余弦定理；三角形的面积公式．

考点点评：本题给出三角形中边b、c之间的关系式，在已知边a和的情况下求三角形的面积．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和同角三角函数的关系等知识，属于中档题．