A-2=7X;A-4=8Y;A-3=9Z;X,Y,Z属于自然数,求A的最小整数值.求具体解题过程

题目

A-2=7X;A-4=8Y;A-3=9Z;X,Y,Z属于自然数,求A的最小整数值.求具体解题过程

答案

这是很经典的剩余定理,也叫韩信点兵.
先用通式表示：数M被x除余a,被y除余b；被z除余c,求M的值?
题目的解题思路是：
先求其中两个除数x,y的最小公倍数,用这个最小公倍数P除以第三个除数z,如果余数和第三个余数c相等,则不需要处理,确定好这个最小公倍数；
如果余数和第三个余数c不等,那么就把得到的最小公倍数P乘以一个自然数k1变成最小公倍数的整数倍,使得得数除以第三个除数z得到的余数与c相等,确定好最小公倍数的整数倍.
这样做的目的是,最小公倍数或其整数倍保证了可以整除前面两个数x,y；并且除以第三个除数的余数余M除以第三个除数的余数相等,都是c
同理,可以得到剩余的两组最小公倍数或其整数倍.
再把这三个数相加,得到的数及其整数倍就是分别除以这三个数得到对应的余数.而如果要求的是符合题意的最小的数,则只需把得到的数减去这三个数的最小公倍数的整数倍,所得的得数就是符合题意的最小整数.因为这三个加数中的每个数都是其他两个数的倍数,并且除以第三个除数得到的余数也与第三个余数相等,所以他们的和也符合这个特点.
现在我们用这个题目的具体数字分析：
这个题目可以转变成：
数A被7除余数是2,被8除余数是4；被9除余数是3,求数A的最小值?
由于7.,8.,9互质
7,8的最小公倍数是56,用56除以9看余数是否与第三个余数3相等,56除以9,余数是2,要使得余数是3,只有把56乘以整数倍,56乘以6倍,得到的数除以9所得余数是2*6-9=3,确定了第一个数是56*6=336
因为336即保证了是7和8的倍数,又保证了除以9余数是3
同理,找第二个数,7,9的最小公倍数是63,63除以8的余数是7 ,和余数4不相等,把63变成其倍数,63乘以4倍,得到的数除以8所得的余数是4*7-8*3=4,确定了第二个数是63*4=252
找第三个数,8,9的最小公倍数是72,72除以7的余数是2,与第一个余数正好相等,所以不需要变成72的整数倍.确定了第三个数是72
把这三个数相加：336+252+72=660
我们来检验：对于除数7来说,336和252都是7的倍数（可表示为7k1,7k2）,72除以7所得的余数是3,所以这三个数相加得到的660（7k1+7k2+72）一定也是符合除以7的余数是2
同理,可知660也符合分别除以8和9得到相应的余数.
不只是660符合题意,660减去或加上7.8.9的最小公倍数504或504的整数倍所得的数也是符合的,比如10除以3余数是1,那么10减去3的整数倍,再除以3所得的余数也一定是1,比如（10-3*2）=4除以3余数就是1,原因很简单,自己思考.就是(10土3*n)/3=10/3土n,n是整数部分,没有余数,所以最后余数还是10/3所得到的.
所以符合题意的数有：660土504*n
660-504=156 ,660+504*n
题目要求A的最小整数值,则答案就是156