求lim(x→0)ln[1+e^x(sinx)^2]/√(1+x^2)-1

题目

求lim(x→0)ln[1+e^x(sinx)^2]/√(1+x^2)-1

答案

在x趋于0的时候,
e^x(sinx)^2也趋于0,
那么
ln[1+e^x(sinx)^2]就等价于e^x(sinx)^2,
而此时e^x趋于1,所以ln[1+e^x(sinx)^2]就等价于(sinx)^2
而分母√(1+x^2)-1等价于0.5x^2
所以
原极限
=lim(x→0) (sinx)^2 / (0.5x^2)
=lim(x→0) 2(sinx)^2 / x^2 显然由重要极限知道lim(x→0) sinx / x=1
= 2