已知【x+√(x²+2014）】【y+√（y²+2014）】=2014,求x²-3xy-4y²-6x-6y+58的值

题目

已知【x+√(x²+2014）】【y+√（y²+2014）】=2014,求x²-3xy-4y²-6x-6y+58的值

答案

令：x+√(x²+2014)=P,y+√(y²+2014)=Q
则 (P-x)²=x²+2014...(1)
(Q-y)²=y²+2014...(2)
PQ=2014.(3)
由(1)得：P²-2Px=2014=PQ (4)
由(2)得：Q²-2Qy=2014=PQ (5)
由于PQ=2014≠0,P≠0,Q≠0
所以,
由(4)得：P-2x=Q
由(5)得：Q-2y=P
将上二式左右分别相加得：P+Q-2(x+y)=P+Q
所以x+y=0
于是
x²-3xy-4y²-6x-6y+58
=(x-4y)(x+y)-6(x+y)+58
=(x+y)(x-4y-6)+58
=0+58
=58