已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,直线x+2y+18=0,试在椭圆上求一点P,使点P到这条直线最短

题目

已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,直线x+2y+18=0,试在椭圆上求一点P,使点P到这条直线最短

答案

在椭圆上作切线L使其平行于直线x+2y+18=0,切点为p.此时p到这条直线的距离有最大值和最小值.
设L的方程为y=-1/2x+b,代入椭圆方程,得
x^2/9+(1/2x-b)^2/4=1
∴4x^2+9(1/2x-b)^2=36
∴25x^2-36bx+36b^2-144=0
△=b^2-4ac=(36b)^2-4×25(36b^2-144)=0
∴b=±5/2
当b=-5/2时,取得最小值
此时切线方程为y=-0.5x-2.5
∴25^2-36(-2.5)x+36(2.5)^2-144=0
∴x=-1.8
∴y=-1.6
∴p坐标为(-1.8,-1.6)