直角三角形ABC中,AC=BC=AD,角DAC=30度,证明BD=CD

题目

直角三角形ABC中,AC=BC=AD,角DAC=30度,证明BD=CD

答案

证明：
首先延长AD交BC于E,设AC=BC=AD=1
分析：如果BD=CD,那么角DCB=角DBC,由已知条件可知推断角DCB=15度,所以角DBC=15度.
因为由已知条件可推断出角BAD=15度,
所以角BAD=角ABC,
因为角AEB是三角形AEB和三角形DEB的共同角,
所以三角形AEB和三角形DEB为相似三角形,
所以BE：AE=DE：BE,
所以BE平方=AE*DE是BD=CD的必然条件.
另一方面因为AC=BC=AD=1
所以AE=1+DE
BE=1-CE
因为三角形ACE为直角三角形,且角DAC=30度
所以CE=AE/2=（1+DE）/2
所以BE=1-（1+DE）/2=（1-DE）/2
BE的平方=（1-DE)平方 /4.
AE*DE=（1+DE）*DE = DE+DE平方,
所以BE平方不等于AE*DE
从此可知,BD必然不等于CD.
出此题者真是250,无聊得很.