如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬一圈回到点B．问：蚂蚁爬行的最短路程是多少？

题目

如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬一圈回到点B．问：蚂蚁爬行的最短路程是多少？

答案

把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CB的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥BC于D，

长是2π•1=2π，
设侧面展开图的圆心角是n°，
则

nπ•3

180

=2π，
解得：n=120，
∴∠DAC=60°，
∵AC=3，
∴由勾股定理得：AD=

3

2

，CD=

3 3

2

，
∴由垂径定理得：BC=2CD=3

3

，
即蚂蚁爬行的最短路程是3

3

．

把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CB的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出BC=2CD，即可得出答案．

本题考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．

考点点评：本题考查了平面展开-最短路线问题，弧长公式，勾股定理的应用，关键是能求出CD的长．