对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1)＝f(x)−[f(x)]2+1/2，设an=[f（n）]2-f（n），数列{an}的前15项的和为−31/16，则f（15）=_．

题目

对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1)＝

f(x)−[f(x)]2

+

1

2

，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为−

31

16

，则f（15）=______．

答案

∵f(x+1)＝f(x)−[f(x)]2+12，∴f(x+1)−12＝f(x)−[f(x)]2，两边平方得[f(x+1)−12]2＝f(x)−[f(x)]2⇒[f(x+1)]2−f(x+1)+14＝f(x)−[f(x)]2，即an+1+an＝−14，即数列{an}任意相邻两项相加为常数−14，则S15＝7×(...

通过f(x+1)＝

f(x)−[f(x)]2

+

1

2

推出数列第n项与第n+1项的关系，找出规律，求出a₁₅，然后解出f（15）=的值．

本题考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评：本题是中档题，考查数列与函数的关系，数列的递推关系式，推出数列中的规律是解题的关键，注意验证数列的项是否在数列中，考查计算能力．