求证三角形的外心与三顶点的连线垂直于垂足三角形的三边

题目

求证三角形的外心与三顶点的连线垂直于垂足三角形的三边

答案

三角形ABC外心为O,三边上的高线分别是AD、BE、CF,连结AO并延长与圆O的交点为H,与EF的交点为M.连结BH.则：∠BAH＋∠AHB=90°,而E、F、B、C四点共圆(∠BFC=∠BEC=90°),则∠AFE=∠ACB=∠AHB,从而∠BAH＋∠AFE=90°,即AH垂直EF.其他的垂直同理可证.