设m为正整数,且1×2×3...﹙n-1﹚+1被m整除,求证：m为质数.

题目

设m为正整数,且1×2×3...﹙n-1﹚+1被m整除,求证：m为质数.

答案

题目应该是打错了,1×2×3×4+1 = 25被25整除,但25不是质数.
正确的叙述是若1×2×3×...×(m-1)+1被m整除,则m为质数.
证明不难,用反证法.
假设m不是质数,则存在1和m以外的约数,设k | m,1 < k < m.
由k < m,k | 1×2×3×...×(m-1).
而由k | m,m | 1×2×3×...×(m-1)+1,又有k | 1×2×3×...×(m-1)+1.
相减得k | 1,这与1 < k矛盾.
因此m为质数.
注:其实这是m > 1为质数的充要条件,称为Wilson定理.