已知二次方程ax^2-√2 bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长

题目

已知二次方程ax^2-√2 bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长
（1）证明:此二次方程有两个不相等的实数根.
（2）设此二次方程的两个实数根为x1,x2,当a=c时,试求x1-x2的绝对值的取值范围.

答案

判别式=2b^2-4ac
钝角三角形,B是钝角
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac<0
b^2>a^2+c^2
因为(a-c)^2>=0
a^2+c^2-2ac>=0
a^2+c^2>=2ac
所以b^2>2ac
2b^2>4ac
所以判别式大于0
所以有两个不相等的实数根.
x1+x2=√2b/a,x1x2=c/a=1
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=2b^2/a^2-4
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(2a^2-b^2)/2a^2<0
1-b^2/2a^2<0
b^2/2a^2>1
b^2/a^2>2
所以(x1-x2)^2=2b^2/a^2-4>0
|x1-x2|>0