设xyz都是整数,且11能整除7x 2y-5z,求证:11能整除3x-7y 12z

题目

设xyz都是整数,且11能整除7x 2y-5z,求证:11能整除3x-7y 12z

答案

方法一：
因为 11整除 7x+2y-5z
所以 11整除（7x+2y-5z）*2
（7x+2y-5z）*2 =14x+4y-10z
因为 x,y,z均为整数
所以 x+y-2z为整数
所以 11整除 11*（x+y-2z）
11*（x+y-2z）=11x+11y-22z
又因为 （7x+2y-5z）*2-11*（x+y-2z）=3x-7y+12z
所以 11能整除3x-7y+12z
方法二：
（7x+2y-5z）＝11t,
（3x-7y+12z）＝u,
将第一式乘以3,第二式乘以7,
得21x+6y-15z=33t,
21x-49y+84z=7u,
在将第一式减第二式得55y-99z=33t-7u;因为x,y,z都是整数,所以左边肯定是11的倍数.
左边能7x+2y-5z被11整除,两式相减55y-99z也能被11整除,那被减的数3x-7y+12z肯定也是能被11整除的.