已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结AC

题目

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,链接AF交CE与点H,联结AC
CF,BF
2.若AE比BE=1比4,求CD的长.
3.在（2)条件下,求AH×AF的值

答案

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点,连接AF交CE与点H,联结AC ,CF,BF；1）..若AE比BE=1比4,求CD的长.2）..在(1)的条件下,求AH×AF的值
1).设圆的直径为d,因为AB是直径,故AB=d,AE/BE=1/4,故AE=d/5,BE=4d/5；
∠ACB是直径上的圆周角,故∠ACB=90°,CD⊥AB,故CE是RT△ABC斜边上的高,
AC²=AE×AB=(d/5)×d=d²/5,故AC=d/√5=(√5/5)d.
CE²=AC²-AE²=d²/5-d²/25=4d²/25,∴CE=2d/5,于是得CD=2CE=4d/5.
2).RT△AEH～RT△AFB,AH/AB=AE/AF,∴AH×AF=AB×AE=d×(d/5)=d²/5