在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2

题目

在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2
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在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（3）记Tn=2²/a2 +3²/a3 +……+n²/an证明 3/2＜2n-Tn2)

答案

由题意知a2k-a2k-1=2k,a2k+1-a2k=2k
则a2-a1=2*1
a3-a2=2*1
a4-a3=2*2
a5-a4=2*2
a6-a5 =2*3
a7-a6=2*3
.
an-an-1=2*(n/2) n为偶数 或2*（n-1)/2 n为奇数
n为偶数时
an-a1=2[2*1+2*2+.2*(n-2)/2]+n=4[1+(n-2)/2][(n-2)/2]/2+n=n²/2
an=n²/2
n为奇数时
an-ai=2[2*1+2*2+.2*(n-1)/2]=4[1+(n-1)/2][(n-1)/2]/2=(n²-1)/2
an=(n²-1)/2
n为偶数时
Tn=2*n/2+[3/4+3/2+5/6+5/4+.(n-1)/n+(n-1)/(n-2)]=n+3/2+2(n/2-2)+(n-1)/n=2n -1/n-3/2
2n-Tn=3/2+1/n
3/2＜2n-Tn2)
n为奇数时(n>=3)
Tn=2*（n-1）/2+[3/4+3/2+5/6+5/4+.n/(n+1)+n/(n-1)]=(n-1)+3/2+2[(n-1)/2-1]+n/(n-1)=2n-3/2-1/(n+1)
2n-Tn=3/2+1/(n+1)
3/2＜2n-Tn=3)
不能等于2