两个数列{An}{Bn}中,An＞0,Bn＞0,且An,Bn^2,An+1成等差数列,且Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比数列.

题目

两个数列{An}{Bn}中,An＞0,Bn＞0,且An,Bn^2,An+1成等差数列,且Bn^2,An+1,Bn+1^2,成等比数列.
a1=1,b1=根2 求Sn=1/a1+1/a2+...+1/an

答案

本题可用数学归纳法作如下证明：
（只说第二步） 假设Bk=（k+1）/根号2 A（k+1）=（k+1）（k+2）/2
由题的等比关系易得Bk+1=A（k+1）/Bk可以直接推得 Bk+1表达式
结论为Bn=（n+1）/根号2
再用归纳法由题目的等差关系可以得到An的表达式为An=n（n+1）/2
之后Sn可以有裂项的方法求得
1/an=【1/n -1/（n+1）】*2 然后n项相加得Sn=2n/（n+1）