计算i+2i2+3i3+…+2000i2000=_．

题目

计算i+2i²+3i³+…+2000i²⁰⁰⁰=______．

答案

令S=i+2i²+3i³+…+2000i²⁰⁰⁰ ①，
则iS=i²+2i³+3i⁴…+1999i²⁰⁰⁰+2000i²⁰⁰¹ ②，
①减去②且错位相减 可得 （1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁰-2001i²⁰⁰¹=

i(1−i2000)

1−i

-2001i²⁰⁰¹=

i(1−1)

1−i

−2000i=0-2000i=-2000i，
∴S=

−2000i

1−i

＝

−2000i(1+i)

(1−i)(1+i)

=

−2000i+2000

2

=1000-1000i，
故答案为：1000-1000i．