已知两次函数y=ax^2+2x+3的图像与x轴交于点A点B,与y轴交于点C,其顶点为D,直线DC关系式y=kx+3,tan角obc=1

题目

已知两次函数y=ax^2+2x+3的图像与x轴交于点A点B,与y轴交于点C,其顶点为D,直线DC关系式y=kx+3,tan角obc=1
1）求a,k 2）二次函数图像上是否存在点P,使得三角形PBC是以BC为一条直角边的直角三角形,求出P坐标

答案

因为y=ax^2+2x+3,所以点C（0,3）点D（-1/a,3-1/a）
因为k>0,且tan∠OBC=1
所以B（3,0）或者（-3,0）
所以a=-1或者a=1/3
所以y=-x^2+2x+3
或者y=x^2/3+2x+3=（x+3）^2/3（舍去,因为函数y=ax^2+2x+3的图像与x轴只交于一点）
所以D（1,4）
所以k=1.
因为三角形PBC是以BC为一条直角边的直角三角形,
假设PB⊥BC,则直线PB为y=x-3代入y=-x^2+2x+3得x^2-x-6=0解得x=-2,所以P（-2,-5）
假设PC⊥BC,则直线PB为y=x+3代入y=-x^2+2x+3得x^2-x=0解得x=1,所以P（1,4）
所以存在点P（-2,-5）或者（1,4）使得三角形PBC是以BC为一条直角边的直角三角形.