如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的长．

题目

如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的长．

答案

如图，把△AEC绕点A顺时针旋转到△AFB，连接DF；
∵△ABC为等腰直角三角形．
∴∠ABD=∠C=45°；
又∵△AFB≌△AEC，
∴BF=EC=4，AF=AE，∠ABF=∠C=45°；
∵∠ABD=45°，
∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=90°，
∴△DBF为直角三角形，
由勾股定理，得DF²=BF²+BD²=4²+3²=5²．
∴DF=5；
因为∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45°；
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
∴DE=DF=5．