对于n阶复矩阵B,若B最小多项式和特征多项式相等,证明：存在向量a,使得a,Ba,……B^(n-1)a线性无关,呵呵
题目
对于n阶复矩阵B,若B最小多项式和特征多项式相等,证明：存在向量a,使得a,Ba,……B^(n-1)a线性无关,呵呵
答案
证明思路1：B最小多项式和特征多项式相等==》B相似于一个有理标准型矩阵A=P^{-1}BP.
令a=Pe_1,
有B^ka=BPe_k=Pe_{k+1},k=0,1,2,...,n-1.
从而得到命题成立
证明思路2：从最小多项式是次数最低的零化多项式来考虑.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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