已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列; (Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式
题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
答案
(Ⅰ)证明:由S
n=4a
n-3,n=1时,a
1=4a
1-3,解得a
1=1.
因为S
n=4a
n-3,则S
n-1=4a
n-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,a
n=S
n-S
n-1=4a
n-4a
n-1,
整理得
an=an−1.又a
1=1≠0,
所以{a
n}是首项为1,公比为
的等比数列.
(Ⅱ)因为
an=()n−1,
由b
n+1=a
n+b
n(n∈N
*),得
bn+1−bn=()n−1.
可得b
n=b
1+(b
2-b
′1)+(b
3-b
2)+…+(b
n-b
n-1)
=
2+=3()n−1−1,(n≥2).
当n=1时上式也满足条件.
所以数列{b
n}的通项公式为
bn=3()n−1−1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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