若关于x的方程2cos^2(π+x)-sinx=a有实根,求实数a的取值范围

题目

若关于x的方程2cos^2(π+x)-sinx=a有实根,求实数a的取值范围

答案

2cos^2(π+x)-sinx=a
2cos²x-sinx=a
-2sin²x-sinx+2=a
-2(sinx+1/4)²+17/8=a
设
f(x)=-2(sinx+1/4)²+17/8
当 sinx=-1/4时 f(x)最大为17/8
当 sinx=1时 f(x)最小为 -1
所以 f(x)的值域为[-1,17/8]
-1≤a≤17/8