设A（-c，0）、B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0），求P点的轨迹．

题目

设A（-c，0）、B（c，0）（c＞0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a＞0），求P点的轨迹．

答案

设动点P的坐标为（x，y），
由

|PA|

|PB|

=a（a＞0）得

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=a，
化简可得（1-a²）x²+2c（1+a²）x+c²（1-a²）+（1-a²）y²=0．
当a=1时，方程化为x=0．
当a≠1时，方程化为（x-

1+a2

a2-1

c）²+y²=（

2ac

a2-1

）²．
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，点P的轨迹是以点（

a2+1

a2-1

c，0）为圆心，|

2ac

a2-1

|为半径的圆．

设动点P的坐标为（x，y），欲求P点的轨迹，只须求出坐标x，y的关系式即可，由题中条件：“

|PA|

|PB|

=a”将坐标代入化简即得．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、两点间的距离公式等知识，属于中档题．