求dy/dx+2y/(x+1)=(x+1)^2的通解

题目

求dy/dx+2y/(x+1)=(x+1)^2的通解

答案

设x+1=e^t,则dt/dx=1/(x+1)=e^(-t),dy/dx=e^(-t)dy/dt
代入原方程,得e^(-t)dy/dt+2ye^(-t)=e^(2t)
==>dy/dt+2y=e^(3t).(1)
∵齐次方程dy/dt+2y=0的通解是y=Ce^(-2t) (C是积分常数)
又方程(1)的一个特解是y=e^(3t)/5
∴方程(1)的通解是y=Ce^(-2t)+e^(3t)/5 (C是积分常数)
故原方程的通解是y=C/(x+1)²+(x+1)³/5 (C是积分常数).