如图,在三角形ABC中,角ABC=90°,AB=6,BC=8,以AB为直径的圆O交AC于D,E是BC中点,连结ED并延长交BA的延长线
题目
如图,在三角形ABC中,角ABC=90°,AB=6,BC=8,以AB为直径的圆O交AC于D,E是BC中点,连结ED并延长交BA的延长线
答案
如图,在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8.以AB为直径的⊙O交AC于D,E是BC的中点,连接ED并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求DB的长;
(3)求S△FAD:S△FDB的值
分析:
(1)连接BD、DO,只要证明∠ODE=90°,OD是半径,就可得到DE是⊙O的切线.
(2)根据△ADB∽△BDC,从而根据相似比不难求得BD的长.
(3)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行分析.
证明:(1)连接BD,DO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵E为BC的中点,
∴DE=EB.
∴∠EDB=∠EBD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∵ABC=90°,
∴∠EDB+∠OBD=90°.
即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(2)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∵BC²=CD•AC,
∴CD= 32/5,AD= 18/5.
又∵△ADB∽△BDC,
∴BD²=AD•CD= 32/5• 18/5.
∴BD= 24/5.
(3)∵∠FDA=∠FBD,∠F=∠F,
∴△FDA∽△FBD,
∴S△FAD:S△FDB= (AD/BD)²=9/16
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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