设f(x)是一个可微函数,定积分(x,0)(t-1)f(x-t)dt=0,求f(x)

题目

设f(x)是一个可微函数,定积分(x,0)(t-1)f(x-t)dt=0,求f(x)

答案

∫{x,0}(t-1)f(x-t)dt=0；
∫{0,x}(x-u-1)f(u)d(-u)=0……u=x-t；
∫{0,x}(x-1)f(u)du-∫{0,x}uf(u)du=0；
(x-1)∫{0,x}f(u)du=∫{0,x}uf(u)du；
∫{0,x}f(u)du+(x-1)f(x)=xf(x)……两端对 x 求导；
f(x)=f'(x)……（移项并）重复上一步骤；
即 f'(x)/f(x)=1；积分得：f(x)=C*e^x；