x+y+z=10,xy+yz+zx=25,x,y,z均为大于等于0的实数.求xyz的最大值

题目

x+y+z=10,xy+yz+zx=25,x,y,z均为大于等于0的实数.求xyz的最大值

答案

x+y=10-z,（x+y）²=（10-z）²,（x+y）²/4＞=xy,（10-z）² /4＞=xy
xy+yz+zx=25,xy=25-z（x+y）=25-z（10-z）
xyz=z*[25-z（10-z）]=z*[25-10z+z²]
设f(z)=z*[25-10z+z²],对f(z)求导得25-20z+3z²
使25-20z+3z²=0 极值点为z=5 、z=5/3
（10-z）² /4＞=25-z（10-z）
3z²-20z＜=0
0≤z≤20/3
将z=5 、z=5/3、z=0、z=20/3代入f(z)得0、500/27、0、500/27
xyz的最大值为500/27