已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A（-4，3）．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

题目

已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，且过点A（-4，3）．若F₁A⊥F₂A，求椭圆的标准方程．

答案

设所求的椭圆标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵F₁A⊥F₂A，∴

F1A

•

F2A

=0，
∴（-4+c，3）•（-4-c，3）=0，
化为16-c²+9=0，解得c=5．
联立

16 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+52

，解得

a2=40 b2=15

．
故所求椭圆的标准方程为

x2

40

+

y2

15

=1．

设所求的椭圆标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)．利用F₁A⊥F₂A，⇔

F1A

•

F2A

＝0，可得c．再利用

16 a2 + 9 b2 ＝1 a2＝b2+52

，解出即可．
故所求椭圆的标准方程为

x2

40

+

y2

15

＝1．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．