在等腰直角三角形ABC中,角C=90度,AB=AC,过C作AB平行线CD取AB=BD,BD交AC于E,求证:AD=AE

题目

在等腰直角三角形ABC中,角C=90度,AB=AC,过C作AB平行线CD取AB=BD,BD交AC于E,求证:AD=AE

答案

证明：
过B点作BG⊥DC,交DC延长线于G
∵⊿ABC 是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠CBA=45º
∵CD//AB
∴∠GCB=∠CBA=45º
∴⊿CBG也是等腰直角三角形
设CG=BG=1,则CB=AC=√2,AB=2
∵AB=BD
∴BG=½BD
∴∠BDG=30º【30º角所对的直角边等于斜边的一半】
∵DC//AB
∴∠ABD=∠BDG =30º.①
∵AB=BD
∴∠ADB=∠DAB=（180º-30º）÷2=75º
∵∠AED=∠DCE+∠CDE=45º+30º=75º【∵DC//AB∴∠DCE=∠CAB=45º】
∴∠ADB=∠AED
∴AD=AE.②