正态分布的数学期望

题目

正态分布的数学期望
已知X~N(0,1),求X的四次方的期望值是多少

答案

E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（-∞,+∞）
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（0,+∞）
分步积分.
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx
积分区间（0,+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）
利用罗必塔法则,
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以E(x^4)=3