关于x的方程x2-（5k+1）x+k2-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由．

题目

关于x的方程x²-（5k+1）x+k²-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由．

答案

根据题意，得
x₁+x₂=5k+1，x₁×x₂=k²-2．
∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5k+1

k2−2

=4．
∴4k²-8=5k+1．
解得k₁=

9

4

，k₂=-1．
经检验

9

4

和-1都是方程的根．
当k₁=

9

4

，k₂=-1，代入方程x²-（5k+1）x+k²-2=0的判别式时，△＞0，
所以存在负数k=-1，满足条件．